حدسية بيرتش وسوينارتون – داير
هل تعلم أنك إذا كنت بارعا حقا في الرياضيات يمكنك الفوز بجائزة مقدارها مليون دولار، نعم هذا حقيقي ولكنه ليس بهذه السهولة، فهناك معهد كلاي للرياضيات الذي يقدم جائزة مقدارها مليون دولار لأي شخص يجد حلا لواحدة من سبع مسائل رياضية حيرت علماء الرياضيات، لسوء الحظ هناك مسألة منهم حلت والغريب أن الذي حلها رفض الجائزة ولكن لا تقلق مازال أمامك الفرصة لتحل واحدة من المسائل الستة المتبقية من مسائل الميلينيوم السبعة.
لهذا هنقدم لك الآن أحد المسائل السبعة لنفتح أمامك الفرصة للفوز بمليون دولار، تضم مسائل الملينيوم السبعة حدسية هودغ وفرضية ريمان ومسألة فراغ الكتلة والوجود ليانغ – ميلز ومسألة الوجود والملوسة لنافيير ستوكس ومسألة NP مقابل P وحدسية بوانكاريه التي حلت في 2002 من قبل الروسي غريغوري ببيرلمان ونشر الحل في دورية ساينس العلمية 2006، وأخيرا حدسية بيرتش وسوينارتون – داير.
تاريخ حدسية بيرتش – داير
بدأ اهتمام عالمي الرياضيات بريان بيرتش والسير بيتر داير في بداية الستينات بنظرية الأعداد وكان وقتها في جامعة أوكسبريدج، وكان لهما طموحا في استخدام التكنولوجيا على الرغم من ذلك لم تكن التكنولوجيا بهذا التأثير الكبير الذي لها الآن، فلم تكن الحواسب تستخدم بشكل كبير في الرياضيات، وبالطبع لم يكن هناك شيء يدعى الكمبيوتر المحمول، اكتشف العالمان بريخ وداير في هذا الوقت من خلال تجاربهما باستخدام التكنولوجيا المتاحة ما يعرف بالدالة اللامية للمنحنى الأهليجي والذي يعتبر بمثابة اكتشافا بارعا في مجال نظرية الأعداد.
لمعرفة حدسية بيرتش داير علينا أن نتعرف قليلا على المنحنيات الإهليجية.
دائمًا هناك شيء ما يجذب علماء الرياضيات إلى المعادلات الجبرية على سبيل المثال معادلة مثل
X^2+Y^2=Z^2
غالبا ما يكون إيجاد الحلول أي إيجاد قيم X و Y و Z حافز لعلماء الرياضيات، على الرغم أن أقليدس قام بحل هذه المعادلة إلا أن هناك الكثير ما زال في الانتظار فحل معادلات من الدرجات الأعلى من هذه المعادلة يزداد صعوبة حتى أن عالم الرياضيات يوري ماتيازيفيتش برهن على أن أحد مسائل هيلبرت غير قابلة للحل، الأمر الأصعب من أننا لا نستطيع إيجاد الحلول هو أننا لا نستطيع أن نحدد إذا ما كان للمعادلات حل في مجموعة الأعداد الطبيعية أم لا.
هناك شيء أثار الانتباه لدى العلماء فيما يتعلق بالمعادلة
Y^2+X^3-X رغم أنها تصف منحنى يعتبر من نوع غير مألوف، حيث يمتلك هذا النوع قاعدة لجمع نقاطه هي كما يلي:
في الشكل المقابل إذا كان a و b نقطتين على ذلك المنحنى وقمنا برسم خط مستقيم لبرط النقطتين، فسيقطع الخط المنحنى بالتبعية في نقطة ثالثة لنسميها النقطة c فنستنتج من هذا أن
A+b= -c
لذلك z+b+c = 0
ويمثل صفر المجموعة كنقطة زائدة في المالانهاية وهي يعتبر تناظر خطوط رأسية كما في الهندسة الإسقاطية.
قاعدة مهمة في المنحنيات الإهليلجية يجب ألا يتم الخلط بين هذا المفهوم ومفهوم القطع الناقص فالخلط بين المفهومين جاء بسبب العلاقة بين المنحنيات بالتكاملات الإهليليجية كالتي تنشأ عند وصف حركة الكواكب، وتتميز هذه القاعدة بأنها يمكن تطبيقها بسهولة حتى أنها تجعل المنحنى يصير مجموعة. وهذه السمة أن المجموعات الناتجة يصعب التكهن بها جعلتها تعتبر الدعامة الأساسية لعلم التشفير الحديث.
بصفة عامة تعتبر معادلة المنحنى الإهليلجي على الشكل الآتي:
Y^2=X^3+AX+B
تعتبر هذه المنحنيات بسيطة نسبيا رغم ذلك ما زال استيعابها عملية صعبة.
الجديد بالذكر أن المنحنيات الإهليليجية ذات قيمة عالية ولها دور كبير ورئيسي في نظرية الأعداد الحديثة على سبيل المثال إثبات ويل لمبرهنة فيرما الأخيرة وبرنامج لانج لاند وتعتبر خواص هذه المنحنيات الإهليلجية هي موضوع حدسية بيرتش وسوينارتون – داير التي نتحدث عنها.
في محاولة لإيجاد حل للمعادلات عندما يكون الحل بالمفهوم الرياضي تجريدي متنوع abelian variety تفترض حدسية بيرتش – داير أن حجم مجموعة الحلول في حقل الأعداد الكسرية يتعلق بما يعرف بـ سلوك التابع زيتا وهو المرافق بالقرب من النقطة s=1، بصيغة أخرى أبسط، إن بيرتش وداير خمنا أنه إذا كان التابع زيتا 1 يساوي صفر فسيكون للمعادلة عدد لانهائي من الحلول وإذا كان التابع زيتا واحد لا يساوي صفر فسيكون عدد محدود من الحلول فقط لهذه المعادلة. بهذا الفرض الغير مثبت من بيرتش وداير نشرت أعداد كبيرة من الأبحاث في نظرية الاعداد لمدة أكثر من 50 عام، والجدير بالذكر أن الفرضية استقت من منبعين مختلفين في الرياضيات وهما علم الجبر وعلم التوابع العقدية حيث وضعت الدالة اللامية، فإذا كنت على دراية وتمكن في الفرعين و كنت معجب أو على استعداد لإثبات الفرضية يمكنك الاضطلاع على الشروط من موقع معهد كلاي للرياضيات. ولمزيد من المعلومات عن مسائل الميلينيوم السبعة ستجدها في كتاب العالم الرياضي كيث ديفلين بعنوان مسائل الميلينيوم (The Millennium Problems) حيث يعطي وصفا مفصلا للمسائل يمكنك من خلالها فهم المطلوب للحصول على جائزة المليون دولار.
