ما هي متسلسلة فورييه؟
وضعها عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي جان باتيست جوزيف فورييه وتعتبر مثال على الأعمال العلمية التي توضع لغرض معين ثم تجد لنفسها طريقا في تطبيقات أخرى، تعتبر متسلسلة فورييه واحدة من أشهر الأعمال الرياضية التي وجدت لنفسها تطبيقات عدة في مجالات عملية، وهذا الجمال غالبا ما يغيب عن علوم الرياضيات التي تعتمد على المنطق الصوري لا التطبيق الحياتي العملي، أما متسلسلة فورييه فتطبيقاتها تجعلها قابلة للتصور.
أما عن فورييه عالم الفيزياء والرياضيات الفرنسي الذي بدأ التدريس وهو في عمر الثمانية عشر عام، وسافر إلى مصر مع نابليون بونابرت في الحملة الفرنسية حيث عمل سكرتيرا في المعهد المصري وكان آخر مناصبه أن عمل سكرتيرا مدى الحياة للأكاديمية الفرنسية للعلوم، تنقسم أعمال جان فورييه بين الفيزياء والرياضيات في الفيزياء في اكتشافه لتأثير البيت الأخضر ومن أرائه العلمية التي أثبتت صحتها أن الإشعاع الشمسي هو المسؤول عن الجزء الأعظم من الدفء في الأرض كما أن أعتبر أن الغلاف الجوي يعمل كعازل وهي كانت بداية فكرة تأثير البيت الزجاجي فيما بعد وفي الرياضيات كانت أشهر أعماله هي المتسلسلة التي سميت باسمه متسلسلة فورييه موضع حديثنا.
كيف ولدت النظرية؟
وضعت النظرية في القرن التاسع عشر الميلادي أثناء عمل جان فورييه على إيجاد قانون يحكم عملية تدفق الحرارة خلال الأجسام، وكان يعتبر أول إسهاماته في المجال الفيزيائي حيث وضع معادلة الحرارة التي تعتبر معادلة تفاضلية جزئية لمعدل تغير درجة الحرارة بالنسبة للزمن والإزاحة في وجود ثابت يعبر عن مقدار التوصيل الحراري للجسم، كتبت المعادلة حديثا كالآتي:
بحل هذه المعادلة يمكن إيجاد درجة الحرارة للجسم عند كل نقطة X خلال أي زمن t، ما فعله فورييه لم يتوقف عند هذا الحد بالأساس متسلسلة فورييه هي ما لحق هذا العمل، استبصر فورييه بإمكانية إيجاد حل لمعادلة درجة الحرارة أي إيجاد قيمة T، التي تعتبر دالة في الإزاحة X والزمن t عن طريق جمع مجموعة من الدوال البسيطة وبحل هذه الدوال نحصل على حل المعادلة، فما هي هذه الدوال البسيطة التي اقترحها فورييه لأداء هذه الوظيفة، اقترح فورييه أن تكون دوال الجيب وجيب التمام من حساب المثلثات هي البنية الأساسية للدالة التي بمجموعها نحصل على حل للمعادلة، وكانت هذه بمثابة طريقة استثنائية في هذا الوقت لتمثيل الدالة التي اختارها فورييه لتمثيل درجة الحرارة، فافتراح وجود صلة بين حساب المثلثات وانتقال الحرارة كان تفكير غير تقليد من فورييه، تفكييك المسألة إلى مجموعة مسائل كان كذلك تفكير غير تقليلدي.
وتعتبر الصيغة العامة لمتسلسلة فورييه في استخدامها الحالي كالآتي:
وتعتبر هذه الصيغة صيغة تقريبية كلما زاد عدد الحدود كلما اقتربت من الحل الدقيق، تتشارك متسلسلة فورييه في هذه الخاصية مع مفكوك تايلور ذو التطبيقات الهندسية العديدة كذلك.
متسلسلة فوريية تحدث صدى وخطوات بعد إنجاز فورييه:
بعد وقت قصير من إنجاز فورييه للمتسلسلة كتطبيق على انتقال الحرارة، تم اكتشاف قابلية استخدام المتسلسلة في ايجاد حل عدد كبير جدا من المسائل الأخرى، من هذه المسائل مثل كان وصف حركة الأمواج وهو الذي يدخل في فروع الهندسة الكهربائية والهندسة البحرية، وسلوك الغازات كأحد فروع الفيزياء والكمياء وتخصصات عدة في الهندسة، كذلك استخدمت في حل مسائل مختلفة في الجاذبية، وفي الكهرباء الساكنة والموجات الكهرمغناطيسية وحتى في مجال الاقتصاد دخلت في دراسة سلوك سوق الأسهم.
كل هذه الأهمية جعلت المتسلسلة تحظى باهتمام عدد كبير من علماء الرياضيات ما جعلها تحظى بتوسع وتعميم ليتم استخدامها في أي مجال آخر. واحدة من أهم الاستخدامات التي استخدمت فيها متسلسلة فوررية كانت اشتقاق لحل مسألة بازل التي وجد حلها لأول مرة ليونارد أويلر ويعتبر الاشتقاق باستخدام متسلسلة فورييه أحد الإثباتات المستخدمة لإثبات صحة حل ليونارد أويلر للمسألة.
أهمية متسسلسة فورييه
تعتبر متسلسلة فورييه واحدة من أهم الأدوات الرياضية التي لا غنى عنها للمهندسين خاصة مهندسين الكهرباء، لاغنى عن المتسلسلة في عملية تحليل الإشارات، وعملية التكامل، حيث يمكن لك أن تعبر عن أي دالة من خلال مجموع دوال الجيب وتمام الجيب.
ويعتبر من تطبيقات متسلسلة فورييه على سبيل المثال أولا: حساب بعض المتسلسلات اللانهائية، ثانيا: تساعد في حل بعد المعادلات التفاضلية الجزئية التي يمكن أن تحل بعملية فصل المتغيرات، ثالثا: هو إمكانية استخدامها لتمثيل أي دالة من خلال مجمعة من النغمات التي يعبر عنها رياضيا بدوال الجيب وجيب التمام.
جعلت هذه التطبيقات لمتسلسلة فوريیه وتعمیماتھا التي أخرجها التابعين لفورييه لها استخدامات في مجال الحواسب، كما صارت تلعب دورا رئيسيا في مجال التكنولوجیا الحديثة، حيث تستخدم كخطوة ضرورية في عملية التصنیع و عملية المعالجة التي تتم للأصوات وللمعلومات والصور والموسیقى. علاوة على ذلك فهي تدخل كذلك في صناعة التلفزيون ولم يكن لأشرطة الفیديو وجود لولا متسلسلة فورييه التي وضعها العالم الفرنسي جان فورييه أثناء عمله على معادلة لانتقال الحرارة.
